Cho đường thẳng d(m) : \(y=\left(\frac{m^2-1}{2m}\right)x+\frac{2m+1}{m}\) \(\left(m\ne0\right)\)
Chứng minh d(m) luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định
Chứng minh rằng họ đường thẳng sau luôn tiếp xúc với một đường cong cố định \(\left(C_m\right):y=2mx^3-x^2+\left(2m+1\right)x-m^2+2\)
Giả sử \(M\left(x_0;y_0\right)\) là điểm mà họ \(\Delta_{\alpha}\) không đi qua. Khi đó phương trình sau vô nghiệm với mọi m : \(m^2-2\left(x^3_0+x_0\right)m+y_0+x^2_0-x_0-2=0\)
\(\Leftrightarrow\Delta'=\left(x^3_0+x_0\right)^2-\left(y_0+x^2_0-x_0-2\right)< 0\)
\(\Leftrightarrow y_0>x^6_0+2x^4_0+x_0+2\)
Xét phương trình : \(2mx^3-x^2+\left(2m+1\right)x-m^2+2=x^6+2x^4+x+2\)
\(\Leftrightarrow m^2-2\left(x^3+x\right)m+\left(x^3+x\right)^2=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x^3+x-m\right)^2=0\) (*)
Vì phương trình \(x^3+x-m=0\) luôn có nghiệm nên (*) luôn có nghiệm bội.
Vậy \(\left(C_m\right)\) luôn tiếp xúc với đường cong \(y=x^6+2x^4+x+2\)
Cho đường thẳng (dm) : \(y=\frac{m^2-1}{2m}x+\frac{2m+1}{m}\left(m\ne0\right)\)và điểm A(1;2). Tính khoảng cách từ A đên (dm) và chỉ ra với mọi giá trị \(m\ne0\) các đường thẳng (dm) luôn tiếp xúc với 1 đường tròn cố định
Cho đường thẳng (dm) : \(y=\frac{m^2-1}{2m}x+\frac{2m+1}{m}\left(m\ne0\right)\)và điểm A(1;2). Tính khoảng cách từ A đên (dm) và chỉ ra với mọi giá trị \(m\ne0\) các đường thẳng (dm) luôn tiếp xúc với 1 đường tròn cố định
Chứng minh rằng họ đường cong \(\left(C_m\right):y=\frac{\left(3m+1\right)x-m^2+m}{x+m}\) luôn tiếp xúc với hai đường thẳng cố định.
Giả sử \(\left(C_m\right)\) luôn tiếp xúc với đường thẳng \(y=ax+b\), khi đó phương trình sau có nghiệm với mọi m :
\(\begin{cases}\frac{\left(3m+1\right)x+m-m^2}{x+m}=ax+b\\\frac{4m^2}{\left(x+m\right)^2}=a\end{cases}\) \(\Leftrightarrow\begin{cases}3m+1-\frac{4m^2}{x+m}=a\left(x+m\right)am+b\\\frac{4m^2}{\left(x+m\right)^2}=a\end{cases}\)
\(\Leftrightarrow\begin{cases}\frac{8m^2}{x+m}=am+3m+1-b\\\frac{4m^2}{\left(x+m\right)^2}=a\end{cases}\) \(\Leftrightarrow\frac{\left(am+3m+1-b\right)^2}{16m^2}=a\) với mọi m
\(\Leftrightarrow\left(a^2-10a+9\right)m^2+2\left(a+3\right)\left(1-b\right)m+\left(1-b\right)^2=0\) với mọi m
\(\Leftrightarrow\begin{cases}a^2-10a+9=0\\\left(a+3\right)\left(1-b\right)=0\\\left(1-b\right)^2=0\end{cases}\)
\(\Leftrightarrow\begin{cases}a=1;a=9\\b=1\end{cases}\)
Vậy \(\left(C_m\right)\) luôn tiếp xúc với 2 đường thẳng \(y=x+1;y=9x+1\)
Chứng minh rằng tiệm cận xiên của họ đồ thị :
\(\left(C_m\right):y=\frac{\left(m+1\right)x^2-m^2}{x-m};\left(m\ne0\right)\) luôn tiếp xúc với một Parabol cố định
Ta có \(y=\left(m+1\right)x+m\left(m+1\right)+\frac{m^3}{x-m}\) suy ra tiệm cận xiên của \(\left(C_m\right)\) là đường thẳng d có phương trình \(y=\left(m+1\right)x+m\left(m+1\right)\)
Giả sử d luôn tiếp xúc với Parabol (P) : \(y=ax^2+bx+c;\left(a\ne0\right)\) khi đó phương trình sau có nghiệm bội với mọi m :
\(ax^2+bx+c=\left(m+1\right)x+m\left(m+1\right)\)
\(\Leftrightarrow ax^2+\left(b-m-1\right)x+c-m^2-m=0\)(*)
\(\Leftrightarrow\Delta=\left(m+1-b\right)^2-4a\left(c-m^2-m\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(1+4a\right)m^2+2\left[\left(1-b\right)+2a\right]m+\left(1-b\right)^2-4ac=0\) với mọi m
\(\Leftrightarrow\begin{cases}1+4a=0\\\left(1-b\right)+2a=0\\\left(1-b\right)^2-4ac=0\end{cases}\)
\(\Leftrightarrow\begin{cases}a=-\frac{1}{4}\\b=\frac{1}{2}\\c=-\frac{1}{4}\end{cases}\)
\(\Rightarrow\left(P\right):y=-\frac{1}{4}x^2+\frac{1}{2}x-\frac{1}{4}\)
Vậy d luôn tiếp xúc với Parabol (P) \(y=-\frac{1}{4}x^2+\frac{1}{2}x-\frac{1}{4}\)
Giả sử \(M\left(x_0;y_0\right)\) là điểm mà d không đi qua, khi đó phương trình :
\(y_0=\left(m+1\right)x_0+m^2+m\Leftrightarrow m^2+\left(x_0+1\right)m+x_0-y_0=0\) vô nghiệm với mọi m
\(\Leftrightarrow\Delta=\left(x_0+1\right)^2-4x_0+4y_0< 0\)
\(\Leftrightarrow y_0< -\frac{1}{4}x_0^2+\frac{1}{2}x_0-\frac{1}{4}\)
Ta dễ dàng chứng minh được d luôn tiếp xúc với Parabol
\(\left(P\right):y=-\frac{1}{4}x^2+\frac{1}{2}x-\frac{1}{4}\)
Cho hai đường thẳng \(\hept{\begin{cases}\left(d_1\right):y=\left(m^2+3\right)x+m^2+1\\\left(d_2\right):y=-\frac{1}{m^2+3}+\frac{4m^2+13}{m^2+3}\end{cases}}\)
(với m là tham số). Chứng minh rằng với mọi giá trị của m thì (d1) và (d2) luôn cắt nhau tại một điểm nằm trên một đường tròn cố định.
Cho đường thẳng phương trình: \(m\sqrt{3}x+\left(2m-2\right)y-\left(m+2\right)=0\left(d\right)\)
Chứng minh rằng với mọi m thì đường thẳng (d) luôn đi qua một điểm cố định.
TH1: m = 0 => -2y = 2 => y = -1
Nên (d) đi qua điểm (0; -1) cố định
TH2: m # 0
Giả sử A(xo;yo) là điểm mà (d) luôn đi qua
\(\Leftrightarrow m\sqrt{3}x_0+2my_0-2y_0-m-2=0\\ \Leftrightarrow m\left(\sqrt{3}x_0+2y_0-1\right)-2y_0-2=0\\ \Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{3}x_0+2y_0-1=0\\2y_0+2=0\end{matrix}\right.\\ \Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y_0=-1\\x=\sqrt{3}\end{matrix}\right.\)
Nên (d) đi qua điểm A(√3; -1) cố định
Vậy với mọi m, đường thẳng (d) luôn đi qua 1 điểm cố định
Chứng minh họ đường cong (Cm) \(y=x^3-3\left(m-2\right)x^2+3\left(m^2-4m+3\right)x-m^3+6m^2-9m+2\)luôn tiếp xúc với 2 đường thẳng cố định
Phương trình \(\left(C_m\right)\) viết lại:
\(y=\left(x-m+2\right)^3-3\left(x-m+2\right)\)
Họ đồ thị hàm \(\left(C_m\right)\) đơn giản là đồ thị hàm \(y=x^3-3x\) tịnh tiến song song với trục Ox, do đó họ đồ thị này luôn tiếp xúc với các tiếp tuyến tại cực trị của \(y=x^3-3x\) (là hai đường thẳng \(y=\pm2\))
Vậy họ đường cong \(\left(C_m\right)\) luôn tiếp xúc với 2 đường thẳng cố định \(y=\pm2\)
Cho \(\left(d\right):y=ax+b\left(a\ne0\right)\)
Xác định hệ số a,b trong mỗi trường hợp sau:
a.(d) đi qua A(-1;4);B(2;-3)
b.(d) đi qua C(-5;3) và song song với đường thẳng y=2x+3
c.(d) đi qua D(4;-1) và vuông góc với đường thẳng \(y=-\frac{2}{3}x-5\)
d.(d) có tung độ gốc bằng 2 và cắt đường thẳng y=x-1 tại điểm có hoành độ bằng -1
e.(d) cắt (P) \(y=-x^2\) tại hai điểm có hoành độ lần lượt bằng 2;1
f.(d) có hệ số góc bằng 2 và đi qua điểm nằm trên đường thẳng y=2x-3 có tung độ bằng 1
Bài 2:
a)Tìm điểm cố định của các đường thẳng sau:
\(y=mx-2m-1\)
\(y=mx+m-1\)
y=(m+1)x+2m-3
b) Chứng minh đường thẳng \(y=\left(m-1\right)x-2m+3\) luôn đi qua 1 điểm cố định thuộc (P):y=\(\frac{1}{4}x^2\)
c)Chứng minh đường thẳng y=2mx+1-m luôn đi qua 1 điểm cố định thuộc (P) y=\(4x^2\)
Bài 1:
a/ \(\left\{{}\begin{matrix}4=-a+b\\-3=2a+b\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=-\frac{7}{3}\\b=\frac{5}{3}\end{matrix}\right.\)
b/ Do d song song với \(y=2x+3\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=2\\b\ne3\end{matrix}\right.\)
\(3=-5.2+b\Rightarrow b=13\)
c/ Do d vuông góc \(y=-\frac{2}{3}x-5\Rightarrow-\frac{2}{3}.a=-1\Rightarrow a=\frac{3}{2}\)
\(-1=\frac{3}{2}.4+b\Rightarrow b=-7\)
d/ \(b=2\Rightarrow y=ax+2\)
d cắt \(y=x-1\) tại điểm có hoành độ 1 \(\Rightarrow d\) đi qua điểm A(1;0)
\(\Rightarrow0=a+2\Rightarrow a=-2\)
e/ Thay 2 hoành độ vào pt (P) ta được \(\left\{{}\begin{matrix}A\left(2;-4\right)\\B\left(1;-1\right)\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}-4=2a+b\\-1=a+b\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=-3\\b=2\end{matrix}\right.\)
f/ \(a=2\)
Thay tung độ y=1 vào pt đường thẳng được \(A\left(2;1\right)\)
\(\Rightarrow1=2.2+b\Rightarrow b=-3\)
Bài 2:
\(y=mx-2m-1\Rightarrow\left(x-2\right).m-\left(y+1\right)=0\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x-2=0\\y+1=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=2\\y=-1\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow A\left(2;-1\right)\)
\(y=mx+m-1\Rightarrow\left(x+1\right).m-\left(y+1\right)=0\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+1=0\\y+1=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow B\left(-1;-1\right)\)
\(y=\left(m+1\right)x+2m-3\Rightarrow y=\left(m+1\right)x+2\left(m+1\right)-5\)
\(\Rightarrow\left(m+1\right)\left(x+2\right)-\left(y+5\right)=0\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+2=0\\y+5=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=-2\\y=-5\end{matrix}\right.\)
Bài 2:
b/ \(y=\left(m-1\right)x-2m+3\Rightarrow y=\left(m-1\right)x-2\left(m-1\right)+1\)
\(\Rightarrow\left(m-1\right)\left(x-2\right)-\left(y-1\right)=0\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x-2=0\\y-1=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow A\left(2;1\right)\)
Vậy d luôn đi qua điểm cố định A(2;1)
Mặt khác thay tọa độ A vào pt (P) ta được:
\(1=\frac{1}{4}.2^2\) \(\Rightarrow1=1\) (đúng)
Vậy A thuộc (P)
c/ \(y=2mx+1-m\Rightarrow m\left(2x-1\right)-\left(y-1\right)=0\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}2x-1=0\\y-1=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow A\left(\frac{1}{2};1\right)\)
Thay tọa độ A vào pt (P) ta được:
\(1=4.\left(\frac{1}{2}\right)^2\Rightarrow1=1\) đúng
Vậy A thuộc (P) hay d luôn đi qua điểm \(A\left(\frac{1}{2};1\right)\) cố định thuộc (P)